cours determinant d une matrice

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Chapitre 3 : Les matrices

Le couple (np) est appelé dimension de la matrice Définitions 3 Une matrice de dimension (n1) est une matrice colonne Une matrice de dimension (1 p) est une matrice ligne Notation: L’ensemble des matrices de dimension (np) est noté Mnp (\\) Chapitre 3 : Les matrices - page 2/22 -

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Exo7

Les éléments a11a22 ann forment la diagonale principale de la matrice • Une matrice qui n’a qu’une seule ligne (n = 1) est appelée matrice ligne ou vecteur ligne On la note A= a11 a12 a1p • De même une matrice qui n’a qu’une seule colonne (p = 1) est appelée matrice colonne ou vecteur colonne On la note A= 0

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LES DÉTERMINANTS DE MATRICES

Il faut toutefois noter une distinction Le cofacteur associé à l'élément = Ü Ý d'une matrice 44 est le déterminant d'une matrice 33 puisqu'il est obtenu en éliminant une rangée (la ie) et une colonne (la je) de # Exemple Calculer le déterminant de la matrice # L n 1210 0311 1 0 3 1 3120 r

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Matrices et d´eterminants 1 Matrices

On proc`ede comme suit pour transformer une matrice A quelconque en une matrice en ´echelons • Si la colonne 1 de la matrice A est nulle on passe a la colonne 2 • Si la colonne 1 n’est pas nulle quitte a multiplier par une matrice S 1s on peut remplacer A par une matrice A0 dont le terme sur la premi`ere ligne et la premi`ere colonne

Comment définir le déterminant d’une matrice ?
On peut aussi définir le déterminant d’une matrice A. Le déterminant permet de savoir si une matrice est inversible ou pas, et de façon plus générale, joue un rôle important dans le calcul matriciel et la résolution de systèmes linéaires. Nous commençons par donner l’expression du déterminant d’une matrice en = petites = dimensions. 1.
Qu'est-ce que le déterminant d'une matrice ?
Il correspond au volume du parallélépi-pède engendré par ces n vecteurs. On peut aussi définir le déterminant d’une matrice A. Le déterminant permet de savoir si une matrice est inversible ou pas, et de façon plus générale, joue un rôle important dans le calcul matriciel et la résolution de systèmes linéaires.
Comment calculer la dimension d'une matrice ?
Une matrice ayant n lignes et p colonnes est appelée matrice ( n , p ) ou n × p. Le couple ( n , p) est appelé dimension de la matrice. Une matrice de dimension ( n ,1 ) est une matrice colonne. Une matrice de dimension ( 1, p ) est une matrice ligne. , p ( ) . . Soit A =   a ij   une matrice de dimension ( n , p) . Alors : nj ). ip ).
Comment calculer la matrice élémentaire ?
1. La matrice ELi Li est la matrice obtenue en multipliant par nombre réel non nul. 2. La matrice à la i-ème ligne de In. 3. La matrice ELi$Lj est la matrice obtenue en permutant les i-ème et j-ème lignes de In. 0 0 Les opérations élémentaires sur les lignes sont réversibles, ce qui entraîne l’inversibilité des matrices élémentaires. Exemple 14. 1.

Proposition 1.

L’aire du parallélogramme est donnée par la valeur absolue du déterminant : exo7.emath.fr

Proposition 2.

Le volume du parallélépipède est donné par la valeur absolue du déterminant : exo7.emath.fr

2. Définition du déterminant

Cette partie est consacrée à la définition du déterminant. La définition du déterminant est assez abstraite et il faudra attendre encore un peu pour pouvoir vraiment calculer des déterminants. exo7.emath.fr

2.3. Déterminants de matrices particulières

Calculer des déterminants n’est pas toujours facile. Cependant il est facile de calculer le déterminant de matrices triangulaires. exo7.emath.fr

= In =

Conclusion. Le principe de récurrence termine la preuve du théorème d’existence du déterminant. Remarque. La définition donnée ci-dessus suppose le choix d’un indice i de ligne (i n dans la démonstration) et peut paraître = arbitraire. Alors se pose naturellement la question : que se passe-t-il si l’on prend une autre valeur de i ? L’unicité du dét

3.3. Déterminant des matrices inversibles

Comment savoir si une matrice est inversible ? Il suffit de calculer son déterminant exo7.emath.fr

Définition 2.

Soit A n lignes et p colonnes à coefficients dans K. Soit k un entier inférieur à = ( aij) 2 Mn,p( K une matrice à ) n et à p. On appelle mineur d’ordre k le déterminant d’une matrice carrée de taille k obtenue à partir de A en supprimant n k lignes et p k colonnes. Noter que A n’a pas besoin d’être une matrice carrée. exo7.emath.fr

Définition 3.

Le rang d’une matrice est la dimension de l’espace vectoriel engendré par les vecteurs colonnes. C’est donc le nombre maximum de vecteurs colonnes linéairement indépendants. exo7.emath.fr

Proposition 6.

Le rang de A est égal au rang de sa transposée AT. Démonstration. Les mineurs de AT sont obtenus à partir des mineurs de A par transposition. Comme les déterminants d’une matrice et de sa transposée sont égaux, la proposition découle de la caractérisation du rang d’une matrice à l’aide des mineurs (théorème 8). exo7.emath.fr

Matrice : astuces simple pour calculer déterminant 4x4 5x5 nxn avec des exemples

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Comment on calcule le déterminant d'une matrice ?
Le déterminant d'une matrice diagonale ou triangulaire (supérieure ou inférieure) est égal au produit des termes de la diagonale principale. Comme pour les déterminants d'ordre 2, la valeur du déterminant est égale au produit des termes de la diagonale principale.
Pourquoi calculer déterminant matrice ?
Le calcul du déterminant d'une matrice carrée est un outil nécessaire, tant en alg?re linéaire pour vérifier une inversibilité ou calculer l'inverse d'une matrice, qu'en analyse vectorielle avec, par exemple, le calcul d'un jacobien.
Comment calculer le déterminant d'une matrice carrée d'ordre n ?
Si une matrice a deux lignes égales, son déterminant est nul. Si dans une matrice on ajoute à une ligne un multiple d'une autre ligne, le déterminant ne change pas. Si A est une matrice carrée d'ordre n, on a det(A)=det(At). Si A et B sont des matrices carrées d'ordre n, on a det(A?B)=det(A)?det(B).
Définition : Si A est une matrice carrée (ai,j)1?i,j?n ( a i , j ) 1 ? i , j ? n , les mineurs principaux sont les déterminants des matrices tronquées (ai,j)1?i,j?k ( a i , j ) 1 ? i , j ? k , pour k allant de 1 à n .

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