Série d 'exercices no5/6 Interpolation polynomiale


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Pr´eparation`a l"Agr´egation de Math´ematiques Universit´e de Nice Ann ee 2007-2008 Interpolation polynomiale - Correction des exercices Exercice 1-On doit r´esoudre le syst`eme lin´eaire `an+ 1 ´equations : n? j=0a Son d´eterminant est le d´eterminant de Vandermonde :

On sait que ? =

une solution unique.

Exercice 2-Les premi`eres assertions sont claires. On en d´eduit ais´ement que la famille est libre et

forme une base. En d´ecomposantpn=?0?0+...+?n?net en ´evaluant enxion obtient?i=f(xi).

Exercice 3-

1. Le polynˆomepk-pk-1est de degr´eket s"annule enx0,...,xk-1. Avecp0(x) =f(x0) on d´eduit

la formule.

2. On doit poserf[xi] =f(xi). On ´evalue (x-x0)qk-1(x)-(x-xk)pk-1(x) enxi: on trouve

(xk-x0)f(xi) pour touti= 0,...,k. On conclut par unicit´e du polynˆome d"interpolation.

3. On range les valeursfdans un tableauT[i] :=f(xn-i),i= 0,···,n. A l"´etape 1 on faitT[i] =

T[i]-T[i+1]

xn-i-xn-i-1pouri= 0,...,n-1. A l"´etape 2 on faitT[i] =T[i]-T[i+1]xn-i-xn-i-2pouri= 0,...,n-2, et ainsi de suite. Au bout den´etapes,T[i] contient la valeur def[x0,...,xi].

4. La factorisation est claire. Le calcul depnse fait par r´ecurrence descendante :

u n=f[x0,...,xn] u

Alorsu0=pn(x).

5. Si l"on rajoutexn+1au bout du tableau, il y a seulementn+ 1 calculs `a faire pour calculer la

nouvelle tableT.

Exercice 4-

1. Six=xi, alorsEn(f)(xi) = 0 et?n+1(xi) = 0 donc le r´esultat est vrai (en prenant par exemple

xi=xi).

2. Remarquer queqn+1(xi) =f(xi),qn+1(x) =f(x) et degqn+1=n+1. Appliquer le Th´eor`eme 1.

3. La fonctionF(t) s"annulen+ 2 fois dans l"intervalle donn´e en ´enonc´e. D"apr´es le th´eor`eme de

Rolle it´er´e, il existe?xdans cet intervalle ouvert tel queF(n+1)(?x) = 0. Ceci conclut.

4. Clair.

(n+1)!exp(b)-?n?+?0. 1
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