Interprétation géométrique des nombres complexes - Math France


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DMartin-LAH - 1 -

C. INTERPRÉTATION GÉOMÉTRIQUE DES NOMBRES COMPLEXES On considère le plan (P) muni d"un repère orthonormal ( O ;

¾¾®u ;

¾¾®v ).

A tout nombre complexe z = a+i b on peut associer le point M du plan de coordonnées ( a ; b) et réciproquement à tout

point M de coordonnées (a ;b) on peut associer le nombre complexe z = a + ib

Vocabulaire :

· On dit que M est l"image de z et que z est l"affixe de M.

· La droite ( O ;

¾¾®u ) s"appelle la droite des réels

· La droite ( O ;

¾¾®v ) s"appelle la droite des imaginaires purs.

Remarque :

On peut de la même manière associer au nombre complexe z = a+ib le vecteur

¾¾®OM de coordonnées ( a ; b).

Exemple : On a tracé ci-contre les images A et B des nombres complexes -1 + 3i et 2 + i

Quelles sont les affixes de C, D et

OE ? C ( ; ) D ( ; )

OE ( ; )

zC = zD = zOE = Propriété : Affixe d"un vecteur quelconque : Si z1 et z2 sont les affixes respectives de M1 et M2 alors z2 - z1 est l"affixe du vecteur 21MM . Exemple : Calculer l"affixe des vecteurs AB et CD AB : CD :

Propriété : Affixe du milieu d"un segment :

Si z1 et z2 sont les affixes respectives de M1 et M2 alors z2 + z1

2 est l"affixe du milieu I de [M1M2].

Exemple : Calculer l"affixe du milieu I de [AB] :

Propriété : Interprétation géométrique de la somme de nombres complexes : Soient deux nombres complexes z et z" d"images respectives M et M".

Le point S d"affixe z + z" est défini par

¾¾®OS =

¾¾®OM +

¾¾®OM"

Exemple : Calculer zR = zA + zE et placer

le point R sur la figure 1 ci-dessus : Propriété : Interprétation géométrique du conjugué :

Soient le nombre complexe z d"image M et

soit z d"image M".

Alors les points M et M" sont symétriques

par rapport à l"axe des abscisses.

Illustration : Sur la figure ci-contre, les

points M et M" sont les images des nombres conjugués -2 + i et -2 - i.

Le point C a pour affixe z

C = zA + zB .

z= -2 - i

DMartin-LAH - 2 -

Linéarité :

· Si les nombres complexes z1 et z2 sont les affixes respectives des vecteurs

¾¾®v1 et

¾¾®v2 alors l"affixe du

vecteur

¾¾®v1 +

¾¾®v2 est le nombre z1 + z2.

· Si k est un nombre réel : Le nombre complexe kz1 est l"affixe du vecteur k

¾¾®v1.

Exemple : Calculer l"affixe du vecteur 2AB - 3CD :

Exercice : Dans un repère orthonormal ( O ;

¾¾®u ;

¾¾®v ), soient les points A, B et C d"affixes respectives : z

A = 1 , zB = -2 - i et zC = 4i.

1. Placer le point D tel que ABCD soit un parallélogramme et calculer son affixe. 2. Placer le point I milieu de [AC] et calculer son affixe.

D. MODULE D"UN NOMBRE COMPLEXE

Pour toutes les propriétés graphiques nous nous plaçons dans un repère orthonormal ( O ;

¾¾®u ;

¾¾®v ).

1) Définition

Définition : Le module du nombre complexe z = a+ib est le nombre réel positif : |z| = a2+b2 . Propositions : Pour tout nombre complexe on a : |z|2 = zz et zzz=-= La preuve est immédiate, il suffit d"utiliser les définitions.

Interprétation géométrique :

Soit le point M d"affixe z = a + ib.

Alors :

C"est une application du théorème de Pythagore : OM

2 = a2 + b2

OM = a2+b2

OM = |z|

2) Distance de deux points :

Proposition : Soient zA et zB les affixes respectives des points A et B, alors : AB = | zB - zA | Pour la preuve il suffit de prendre encore le théorème de Pythagore.

Exercice :

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal (O;

¾¾®u ;

¾¾®v ) d"unité

graphique 2 cm.

On considère les points

A, B, C, D et E d"affixes respectives :

zA = 2 zB = 1 + 2i zC = 1 - 2i zD = 1 2 + 1 2 i et zE = -1 a. Placer les points A, B, C, D et E dans le plan complexe. b. Déterminer la nature du quadrilatère OBAC. c. Démontrer que A, B et E sont sur un cercle dont on déterminera le centre et le rayon.

O -11234

-1 1 2 3 M a b |z| s |z| = OM = OM q

DMartin-LAH - 3 -

E. ARGUMENT D"UN NOMBRE COMPLEXE NON NUL

Dans le plan

P muni d"un repère orthonormal (O ;

¾¾®u ;

¾¾®v )

on considère le point M d"affixe z = a + ib non nul.

On a alors OM = |

z|.

Le vecteur

¾¾®OM forme alors un angle q (exprimé en radian) avec le vecteur

¾¾®u de l"axe des abscisses.

D"après les relations trigonométriques dans un triangle rectangle, nous pouvons en déduire un calcul de q : cos qqqq = a |z| et sin qqqq = b |z|

Remarque : Ce calcul détermine les mesures de q à des multiples de 2p près. On dit que l"on a une mesure de q

modulo 2 p. On note : q + k´2p avec k Î ZZ ? q (2p)

Définition : On appelle argument du nombre complexe non nul z = a+bi une mesure de l"angle q calculé ci-dessus.

Propositions : Pour tout nombre complexe non nul on a : arg (z) = - arg (z) (2p) et arg (-z) = p + arg (z) (2p)

Exemple :

Calculer un argument des nombres z3 et z4.

z3 = 3 + i : z4 = -2 - 2 i : module : module : |z3| = 32 + 12 = 3 + 1 = 4 = 2 |z4| = argument : Soit q3 un argument de z3 , alors : argument : Soit q4 un argument de z4 , alors : cos q3 = 3

2 et sin q3 = 1

2

On a alors :

q3 = p

6 + k´2p avec k Î ZZ. [Ou q = p

6 (2p) ]

Un argument de

z3 est donc p

6 . ( Il y en a une infinité )

F. FORME TRIGONOMÉTRIQUE D"UN NOMBRE COMPLEXE

Nous avons vu qu"un nombre complexe z

= a+bi est aussi défini de manière unique par son module et un argument.

Définition : Nous pouvons écrire z sous une forme trigonométrique : z = |z| ( cos qqqq + i sin qqqq) où q est un argument de z.

Une autre forme trigonométrique de z est : z = [ rrrr ; qqqq ] avec r = |z| . Passage de la forme algébrique à la forme trigonométrique (et réciproquement) : Il suffit d"appliquer les formules de trigonométrie ci-dessus. Exemple : Ecrire les nombres z = 1 + i et z" = -23 - 2i sous forme trigonométrique :

z = = [ ; ] et z" = = [ ; ]

O -11234

-1 1 2 3 M a b |z| s q

DMartin-LAH - 4 -

G. MULTIPLICATION ET DIVISION SOUS FORME TRIGONOMÉTRIQUE Les démonstrations de ces théorèmes seront vues en exercice. Théorème : Soient les nombres complexes z et z" non nuls alors : |z ´´´´ z"| = |z| ´´´´ |z"| arg (z ´´´´ z") = arg(z) + arg(z") (2p)

Exemple : Calculer zz" :

Théorème: Pour tout nombre complexe z non nul on a: z1 = z1 arg ( 1 z ) = - arg (z) (2p)

Exemple: Calculer 1z" :

Théorème: Pour tous nombres complexes z et z" non nuls on a: "zz= "zz arg ( z z" ) = arg (z) - arg (z") (2p)

Exemple: Calculer z

z" :

Théorème : Formules de Moivre : Soient le nombre complexe z non nul et n un entier naturel, alors :

nz = nz arg (zn) = n ´´´´ arg(z) (2p)

Exemple : Calculer z12 :

Avec les notations trigonométriques :

En posant

z = [? ;?] et z" = [r" ; q"] ( z , z" non nuls ) , n Î IN :

Exercice :

Soient les nombres complexes z1 = 1

2 ( -1 + i 3) , z2 = 1 - i et le nombre Z défini par : Z = z12 z2 1. Donner la forme trigonométrique des nombres z1 , z2 et Z. 2.

Calculer le nombre Z sous forme algébrique.

3.

En déduire la valeur exacte de : cos ?

12 et sin ?

12 .

[rrrr ; qqqq] ´´´´ [rrrr" ; qqqq"] = [rrrr ´´´´ rrrr" ; qqqq + qqqq"] ];1[];[1qqqqrrrrqqqqrrrr----====

];"[]";"[];[qqqqqqqqrrrrr rrr q qqqrrrrq

qqqrrrr¢¢¢¢----==== [rrrr ; qqqq] n = [rrrr n ; nqqqq]

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