Interprétation géométrique des nombres complexes - Math France
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DMartin-LAH - 1 -
C. INTERPRÉTATION GÉOMÉTRIQUE DES NOMBRES COMPLEXES On considère le plan (P) muni d"un repère orthonormal ( O ;¾¾®u ;
¾¾®v ).
A tout nombre complexe z = a+i b on peut associer le point M du plan de coordonnées ( a ; b) et réciproquement à tout
point M de coordonnées (a ;b) on peut associer le nombre complexe z = a + ibVocabulaire :
· On dit que M est l"image de z et que z est l"affixe de M.· La droite ( O ;
¾¾®u ) s"appelle la droite des réels
· La droite ( O ;
¾¾®v ) s"appelle la droite des imaginaires purs.Remarque :
On peut de la même manière associer au nombre complexe z = a+ib le vecteur¾¾®OM de coordonnées ( a ; b).
Exemple : On a tracé ci-contre les images A et B des nombres complexes -1 + 3i et 2 + iQuelles sont les affixes de C, D et
OE ? C ( ; ) D ( ; )OE ( ; )
zC = zD = zOE = Propriété : Affixe d"un vecteur quelconque : Si z1 et z2 sont les affixes respectives de M1 et M2 alors z2 - z1 est l"affixe du vecteur 21MM . Exemple : Calculer l"affixe des vecteurs AB et CD AB : CD :Propriété : Affixe du milieu d"un segment :
Si z1 et z2 sont les affixes respectives de M1 et M2 alors z2 + z12 est l"affixe du milieu I de [M1M2].
Exemple : Calculer l"affixe du milieu I de [AB] :
Propriété : Interprétation géométrique de la somme de nombres complexes : Soient deux nombres complexes z et z" d"images respectives M et M".Le point S d"affixe z + z" est défini par
¾¾®OS =
¾¾®OM +
¾¾®OM"
Exemple : Calculer zR = zA + zE et placer
le point R sur la figure 1 ci-dessus : Propriété : Interprétation géométrique du conjugué :Soient le nombre complexe z d"image M et
soit z d"image M".Alors les points M et M" sont symétriques
par rapport à l"axe des abscisses.Illustration : Sur la figure ci-contre, les
points M et M" sont les images des nombres conjugués -2 + i et -2 - i.Le point C a pour affixe z
C = zA + zB .
z= -2 - iDMartin-LAH - 2 -
Linéarité :
· Si les nombres complexes z1 et z2 sont les affixes respectives des vecteurs¾¾®v1 et
¾¾®v2 alors l"affixe du
vecteur¾¾®v1 +
¾¾®v2 est le nombre z1 + z2.
· Si k est un nombre réel : Le nombre complexe kz1 est l"affixe du vecteur k¾¾®v1.
Exemple : Calculer l"affixe du vecteur 2AB - 3CD :Exercice : Dans un repère orthonormal ( O ;
¾¾®u ;
¾¾®v ), soient les points A, B et C d"affixes respectives : zA = 1 , zB = -2 - i et zC = 4i.
1. Placer le point D tel que ABCD soit un parallélogramme et calculer son affixe. 2. Placer le point I milieu de [AC] et calculer son affixe.D. MODULE D"UN NOMBRE COMPLEXE
Pour toutes les propriétés graphiques nous nous plaçons dans un repère orthonormal ( O ;¾¾®u ;
¾¾®v ).
1) Définition
Définition : Le module du nombre complexe z = a+ib est le nombre réel positif : |z| = a2+b2 . Propositions : Pour tout nombre complexe on a : |z|2 = zz et zzz=-= La preuve est immédiate, il suffit d"utiliser les définitions.Interprétation géométrique :
Soit le point M d"affixe z = a + ib.
Alors :
C"est une application du théorème de Pythagore : OM2 = a2 + b2
OM = a2+b2
OM = |z|2) Distance de deux points :
Proposition : Soient zA et zB les affixes respectives des points A et B, alors : AB = | zB - zA | Pour la preuve il suffit de prendre encore le théorème de Pythagore.Exercice :
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal (O;¾¾®u ;
¾¾®v ) d"unité
graphique 2 cm.On considère les points
A, B, C, D et E d"affixes respectives :
zA = 2 zB = 1 + 2i zC = 1 - 2i zD = 1 2 + 1 2 i et zE = -1 a. Placer les points A, B, C, D et E dans le plan complexe. b. Déterminer la nature du quadrilatère OBAC. c. Démontrer que A, B et E sont sur un cercle dont on déterminera le centre et le rayon.O -11234
-1 1 2 3 M a b |z| s |z| = OM = OM qDMartin-LAH - 3 -
E. ARGUMENT D"UN NOMBRE COMPLEXE NON NUL
Dans le plan
P muni d"un repère orthonormal (O ;
¾¾®u ;
¾¾®v )
on considère le point M d"affixe z = a + ib non nul.On a alors OM = |
z|.Le vecteur
¾¾®OM forme alors un angle q (exprimé en radian) avec le vecteur¾¾®u de l"axe des abscisses.
D"après les relations trigonométriques dans un triangle rectangle, nous pouvons en déduire un calcul de q : cos qqqq = a |z| et sin qqqq = b |z|Remarque : Ce calcul détermine les mesures de q à des multiples de 2p près. On dit que l"on a une mesure de q
modulo 2 p. On note : q + k´2p avec k Î ZZ ? q (2p)Définition : On appelle argument du nombre complexe non nul z = a+bi une mesure de l"angle q calculé ci-dessus.
Propositions : Pour tout nombre complexe non nul on a : arg (z) = - arg (z) (2p) et arg (-z) = p + arg (z) (2p)Exemple :
Calculer un argument des nombres z3 et z4.
z3 = 3 + i : z4 = -2 - 2 i : module : module : |z3| = 32 + 12 = 3 + 1 = 4 = 2 |z4| = argument : Soit q3 un argument de z3 , alors : argument : Soit q4 un argument de z4 , alors : cos q3 = 32 et sin q3 = 1
2On a alors :
q3 = p6 + k´2p avec k Î ZZ. [Ou q = p
6 (2p) ]
Un argument de
z3 est donc p6 . ( Il y en a une infinité )
F. FORME TRIGONOMÉTRIQUE D"UN NOMBRE COMPLEXENous avons vu qu"un nombre complexe z
= a+bi est aussi défini de manière unique par son module et un argument.Définition : Nous pouvons écrire z sous une forme trigonométrique : z = |z| ( cos qqqq + i sin qqqq) où q est un argument de z.
Une autre forme trigonométrique de z est : z = [ rrrr ; qqqq ] avec r = |z| . Passage de la forme algébrique à la forme trigonométrique (et réciproquement) : Il suffit d"appliquer les formules de trigonométrie ci-dessus. Exemple : Ecrire les nombres z = 1 + i et z" = -23 - 2i sous forme trigonométrique :z = = [ ; ] et z" = = [ ; ]
O -11234
-1 1 2 3 M a b |z| s qDMartin-LAH - 4 -
G. MULTIPLICATION ET DIVISION SOUS FORME TRIGONOMÉTRIQUE Les démonstrations de ces théorèmes seront vues en exercice. Théorème : Soient les nombres complexes z et z" non nuls alors : |z ´´´´ z"| = |z| ´´´´ |z"| arg (z ´´´´ z") = arg(z) + arg(z") (2p)Exemple : Calculer zz" :
Théorème: Pour tout nombre complexe z non nul on a: z1 = z1 arg ( 1 z ) = - arg (z) (2p)Exemple: Calculer 1z" :
Théorème: Pour tous nombres complexes z et z" non nuls on a: "zz= "zz arg ( z z" ) = arg (z) - arg (z") (2p)Exemple: Calculer z
z" :Théorème : Formules de Moivre : Soient le nombre complexe z non nul et n un entier naturel, alors :
nz = nz arg (zn) = n ´´´´ arg(z) (2p)Exemple : Calculer z12 :
Avec les notations trigonométriques :
En posant
z = [? ;?] et z" = [r" ; q"] ( z , z" non nuls ) , n Î IN :Exercice :
Soient les nombres complexes z1 = 1
2 ( -1 + i 3) , z2 = 1 - i et le nombre Z défini par : Z = z12 z2 1. Donner la forme trigonométrique des nombres z1 , z2 et Z. 2.Calculer le nombre Z sous forme algébrique.
3.En déduire la valeur exacte de : cos ?
12 et sin ?
12 .[rrrr ; qqqq] ´´´´ [rrrr" ; qqqq"] = [rrrr ´´´´ rrrr" ; qqqq + qqqq"] ];1[];[1qqqqrrrrqqqqrrrr----====
];"[]";"[];[qqqqqqqqrrrrr rrr q qqqrrrrqqqqrrrr¢¢¢¢----==== [rrrr ; qqqq] n = [rrrr n ; nqqqq]