DL (développements limités majorations tayloriennes) Bac Mathématiques

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Comment calculer un DL ?
En pratique.
Si je veux calculer le DL de f à l'ordre n en x0, je calcule le DL de g(h) = f(x0+h) à l'ordre n en 0, ensuite je remplace dans le DL trouvé h par (x − x0). 2 + h) et on calcule son DL à l'ordre 3 au point 0. − sin(h) = −h + h3 6 + h3ε1(h), au voisinage de 0.
Quand on peut utiliser les DL ?
En mathématiques, les développements limités permettent de trouver plus simplement des limites de fonctions, de calculer des dérivées, de prouver qu'une fonction est intégrable ou non, ou encore d'étudier des positions de courbes par rapport à des tangentes.
Ils permettent également l'obtention d'équivalents.
Qu'est-ce qu'un DL en maths ?
Les développements limités sont l'outil majeur, en mathématiques, pour l'étude locale : limite de fonctions, recherche d'asymptotes, étude de la convergence de séries.
Par exemple, déterminons la limite en 0 de sin(x)−xtan(x)−x.
Développer, c'est transformer une multiplication en une somme ou en une différence.
La multiplication est distributive sur l'addition.
Cela signifie que, pour tous nombres k, a et b, on a : k(a + b) = ka + kb.

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Comment calculer le DL ?

Si je veux calculer le DL de f à l'ordre n en x0, je calcule le DL de g(h) = f(x0+h) à l'ordre n en 0, ensuite je remplace dans le DL trouvé h par (x ? x0).

Comment savoir l'ordre du DL ?

La formule de Taylor donne une réponse simple `a ces deux probl`emes.
. La rêgle de l'Hôpital* est un moyen simple de calculer certaines limites de la forme indéterminée 0/0 ou ?/?.
. On peut rendre l'argument plus rigoureux en utilisant la formule du chapitre 2 : f(a + ?x) = f(a) + f (a)?x + o(?x) .

Comment utiliser la formule de Taylor ?

En mathématiques, les développements limités permettent de trouver plus simplement des limites de fonctions, de calculer des dérivées, de prouver qu'une fonction est intégrable ou non, ou encore d'étudier des positions de courbes par rapport à des tangentes.
. Ils permettent également l'obtention d'équivalents.

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