formule geometrie bac s

PDF	Formulaire de géométrie Formulaire de géométrie Volume= r2h Aire totale=2 r2 +2πrh Volume=4 3πr3 Aire totale=4πr2

PDF	FORMULES 1 0 1 e x — ln — ln — ln × b lna +ln b (pour tout a b 0) ) = > −lna ( a) = an nlna (pour tout n ∈ N) ( ) = — ln est une fonction continue strictement croissante — ln′ x ( ) = pour tout x x 0 > — ln (1 ) = 0 ln (e 1 ) = — limx→+∞ ln x ∞ = + — limx→0+ln x −∞ = Lien logarithme/exponentielle :

PDF	Exo7 Ce recueil regroupe différents chapitres de géométrie de niveau première et deuxième année

Qui a réalisé cet ouvrage de formules ?
Cet ouvrage de formules a été réalisé par Arnaud Bodin. Ces formules sont principalement tirées des livres « Analyse » et « Algèbre » d’Exo7 issus d’un large travail collectif. Les contributeur des livres sont : Relectures (passées ou présentes) : Stéphanie Bodin, Vianney Combet, Bar- nabé Croizat, Christine Sacré.
Comment calculer le degré algébrique ?
• est associative : cela découle de l’associativité sur R n f0g. : idem. tels que P (x 0, est le degré algébrique de x. Par exemple, calculons le degré algébrique de 2 : un ) = p il n’est pas possible d’en trouver de degré 1, donc le degré algébrique de 2 vaut 2. Plus généralement 2 avec (de degré algébrique 1 si 2 Q, de degré 2 sinon). Par contre
Comment calculer le degré algébrique d'un polynôme ?
Si m Q (x : =0 ai xi = 0. Donc il existe un polynôme non nul de degré m annulant x. Donc le degré algébrique de est inférieur ou égal à m. 0 0. Cela impliquerait que x : Q . Corollaire 2. aussi.

Géométrie

Ce recueil regroupe différents chapitres de géométrie de niveau première et deuxième année. exo7.emath.fr

Chapitre

Vidéo Vidéo partie partie Constructions Nombres constructibles exo7.emath.fr

Vidéo partie 5. Applications aux problèmes grecs

Vous avez à votre disposition une règle et un compas et bien sûr du papier et un crayon Avec si peu de matériel s’ouvre à vous un monde merveilleux rempli de géométrie et d’algèbre. exo7.emath.fr

1. Constructions et les trois problèmes grecs

Nous allons voir dans cette première partie que tout un tas de constructions sont possibles. Mais le but de ce cours est de répondre à trois problèmes qui datent des mathématiciens grecs : la trisection des angles, la duplication du cube ainsi que le célèbre problème de la quadrature du cercle. exo7.emath.fr

1.1. Premières constructions géométriques

Nous avons à notre disposition un compas et une règle (non graduée). On démarre par des constructions élémentaires. Si A, B sont deux points donnés du plan, alors on peut construire, à la règle et au compas, le symétrique de B par rapport à A. Pour cela, il suffit juste de tracer la droite A passant par B. Cette droite et ce cercle se coupent en B

1.2. Règles du jeu

Il est peut-être temps d’expliquer ce que l’on est autorisé à faire. Voici les règles du jeu : partez de points sur une feuille. Vous pouvez maintenant tracer d’autres points, à partir de cercles et de droites en respectant les conditions suivantes : vous pouvez tracer une droite entre deux points déjà construits, vous pouvez tracer un cercle dont

1.5. La trisection des angles

Considérons un angle , c’est-à-dire la donnée d’un point A et de deux demi-droites issues de ce point. Nous savons diviser cet angle en deux à l’aide d’une règle et d’un compas : il suffit de tracer la bissectrice. Pour cela on fixe un écartement de compas et on trace un cercle centré en A : il recoupe les demi-droites en des points B et C. On trac

2. Les nombres constructibles à la règle et au compas

Pour résoudre les trois problèmes grecs, il va falloir les transformer complètement. D’une question géo-métrique nous allons passer à une question algébrique. Dans cette partie on ramène le problème de la construction de points dans le plan à la construction de points sur la droite numérique réelle. exo7.emath.fr

Q C

R Autrement dit, tous les rationnels (et en particulier tous les entiers) sont des nombres réels constructibles. La preuve découle facilement de la proposition : exo7.emath.fr

Q CR.

Nous allons voir que C R contient davantage de nombres que les rationnels. exo7.emath.fr

2.4. Les ensembles

Une dernière motivation à propos des nombres constructibles concerne les ensembles. Nous avons les inclusions d’ensembles : exo7.emath.fr

3. Éléments de théorie des corps

La théorie des corps n’est pas évidente et mériterait un chapitre entier. Nous résumons ici les grandes lignes utiles à nos fins. Il est important de bien comprendre le paragraphe suivant; les autres paragraphes peuvent être sautés lors de la première lecture. exo7.emath.fr

3.2. Corps

Un corps est un ensemble sur lequel sont définies deux opérations : une addition et une multiplication. exo7.emath.fr

Proposition 3.

L’ensemble des nombre réels constructibles CR, , ( + est un corps inclus dans R. ) On a aussi que CC, +, ( est un corps inclus dans ) C. exo7.emath.fr

3.3. Extension de corps

Nous cherchons des propositions qui lient deux corps, lorsque l’un est inclus dans l’autre. Les résultats de ce paragraphe seront admis. exo7.emath.fr

Proposition 4.

Soient K, L deux corps avec K L. Alors L est un espace vectoriel sur K. exo7.emath.fr

Corollaire 2.

Si x et y sont des nombres réels algébriques alors x y et x aussi. Démonstration. Comme x est un nombre algébrique alors L Q = x est une extension finie de ( ) exo7.emath.fr

4. Corps et nombres constructibles

Cette partie est la charnière de ce chapitre. Nous expliquons à quoi correspondent algébriquement les opérations géométriques effectuées à la règle et au compas. exo7.emath.fr

5.1. L’impossibilité de la duplication du cube

La duplication du cube ne peut pas s’effectuer à la règle et au compas. Cela découle du fait suivant : exo7.emath.fr

5.3. L’impossibilité de la trisection des angles

La trisection des angles ne peut pas s’effectuer à la règle et au compas. Plus précisément nous allons exhiber un angle que l’on ne peut pas couper en trois. exo7.emath.fr

Indications :

Un nombre algébrique est par définition une racine d’un polynôme P de Q [X ]. R n’est pas dénombrable. exo7.emath.fr

L’inversion 2

L’inversion géométrique est une transformation remarquable du plan. Par exemple, elle peut changer une droite en un cercle et un cercle en une droite. Nous étudions ici quelques propriétés de l’inversion. Cela nous permettra de créer un dispositif mécanique qui transforme un mouvement circulaire en un mouvement rectiligne. Nous montrerons enfin que

1.3. Les cercles-droites

Les deux paragraphes précédents conduisent à la définition suivante. exo7.emath.fr

Corollaire 1.

L’image par une homographie d’un cercle-droite est un cercle-droite. Démonstration. L’image d’une droite par une translation est une droite. De même, l’image d’un cercle par une translation est un cercle. Il en va de même pour les rotations, pour les homothéties et pour les réflexions. L’image d’un cercle par une inversion est un cercle ou une droi

Corollaire 3.

Soit i une inversion. Si deux courbes C et C sont tangentes en un point M (resp. perpendiculaires en M) alors les courbes i ( C et i ( C sont tangentes en i ( M (resp. perpendiculaires en i ) ( M ). ) exo7.emath.fr

4.1. La courbe de Watt

Le but est de transformer un mouvement circulaire en mouvement rectiligne (ou l’inverse). Une solution simple est d’utiliser une bielle et un piston. Le problème est que le coulissage génère des frottements au niveau du piston. bielle roue piston L’ingénieur James Watt améliora le dispositif en inventant un mécanisme qui permet d’obtenir une portio

4.2. L’inverseur de Peaucellier

La chaînette est le nom que porte la courbe obtenue en tenant une corde (ou un collier, un fil,

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